问答题
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3．
(Ⅰ)求矩阵B，使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．
【正确答案】[解] (Ⅰ)按已知条件，有
A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)
所以矩阵
(Ⅱ)因为α1，α2，α3线性无关，矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以C-1AC=B，即A与B相似．由
知矩阵B的特征值是1，1，4．故矩阵A的特征值是1，1，4．
(Ⅲ)对于矩阵B，由(E-B)x=0，
得特征向量η1=(-1，1，0)T，η2=(-2，0，1)T．
由(4E-B)x=0，
得特征向量η3=(0，1，1)T．
那么令
从而
故当
A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)
所以矩阵
(Ⅱ)因为α1，α2，α3线性无关，矩阵C=(α1，α2，α3)可逆，所以C-1AC=B，即A与B相似．由
知矩阵B的特征值是1，1，4．故矩阵A的特征值是1，1，4．
(Ⅲ)对于矩阵B，由(E-B)x=0，
得特征向量η1=(-1，1，0)T，η2=(-2，0，1)T．
由(4E-B)x=0，
得特征向量η3=(0，1，1)T．
那么令
从而
故当
【答案解析】