问答题
设矩阵A的伴随矩阵
A * =
A * =
【正确答案】
【答案解析】解1 由｜A
*
｜-｜A｜
n-1
，有｜A｜
3
=8，得｜A｜=2．
又由题设方程，有 (A-E)BA -1 =3E
两端右乘A，得 (A-E)B=3A
两端左乘A，得 (E-A -1 )B=3E
即
亦即 (2E-A * )B=6E
又2E-A * 为可逆矩阵，于是
B=6(2E-A * ) -1
计算可得
因此
解2 ｜A｜=2(解法同解1)．
由AA * =｜A｜E，得
A=｜A｜(A * ) -1 =2(A * ) -1
可见A-E为可逆矩阵，于是由(A-E)BA -1 =3E，有
B=3(A-E) -1 A
而
因此
又由题设方程，有 (A-E)BA -1 =3E
两端右乘A，得 (A-E)B=3A
两端左乘A，得 (E-A -1 )B=3E
即
亦即 (2E-A * )B=6E
又2E-A * 为可逆矩阵，于是
B=6(2E-A * ) -1
计算可得
因此
解2 ｜A｜=2(解法同解1)．
由AA * =｜A｜E，得
A=｜A｜(A * ) -1 =2(A * ) -1
可见A-E为可逆矩阵，于是由(A-E)BA -1 =3E，有
B=3(A-E) -1 A
而
因此