解答题
设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αβT，求：
问答题
15.A2；
【正确答案】由A=αβT和αTβ=0，有
A2=AA-(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)αβTO，即A是n阶幂零阵(A2=O)．
A2=AA-(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(αTβ)αβTO，即A是n阶幂零阵(A2=O)．
【答案解析】
问答题
16.A的特征值和特征向量；
【正确答案】方法一 利用(1)A2=O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则
Aξ=λξ
两边左乘A，得 A2ξ=λAξ=λ2ξ
因A2=O，所以λ2ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．
方法二 直接用特征值的定义．
Aξ=αβTξ=λξ， ①
由①式若βTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0．
若βTξ≠0，①式两端左乘βT，得
βTαβTξ=(βTα)βTξ=0.(βTξ)=λβTξ，得λ=0，
故A的全部特征值为0．
方法三 利用特征方程｜λE-A｜=0．
因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2n个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是
方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a1≠0，b1≠0，有
则A的对应于特征值0的特征向量为：
Aξ=λξ
两边左乘A，得 A2ξ=λAξ=λ2ξ
因A2=O，所以λ2ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．
方法二 直接用特征值的定义．
Aξ=αβTξ=λξ， ①
由①式若βTξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0．
若βTξ≠0，①式两端左乘βT，得
βTαβTξ=(βTα)βTξ=0.(βTξ)=λβTξ，得λ=0，
故A的全部特征值为0．
方法三 利用特征方程｜λE-A｜=0．
因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2n个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是
方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量．不妨设a1≠0，b1≠0，有
则A的对应于特征值0的特征向量为：
【答案解析】
问答题
17.A能否相似于对角阵，说明理由．
【正确答案】A不能相似于对角阵，因α≠0，β≠0，故A=αβT≠O，r(A)=r≠0(其实r(A)=1，为什么?)．从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n-r≠n个，故A不能对角化．
【答案解析】