问答题
快速排序是一种典型的分治算法。采用快速排序对数组A[p..r]排序的三个步骤如下：
分解：选择一个枢轴(pivot)元素划分数组。将数组A[p..r]划分为两个子数组(可能为空)A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得A[q]大于等于A[p..q-1]中的每个元素，小于A[q+1..r]中的每个元素。q的值在划分过程中计算。
递归求解：通过递归的调用快速排序，对子数组A[p..q-1]和A[q+1..r]分别排序。
合并：快速排序在原地排序，故不需合并操作。
问答题
下面是快速排序的伪代码，请填补其中的空缺。伪代码中的主要变量说明如下：
A：待排序数组。
p，r：数组元素下标，从p到r。
q：划分的位置。
x：枢轴元素。
i：整型变量，用于描述数组下标。下标小于或等于i的元素的值小于或等于枢轴元素的值。
j：循环控制变量，表示数组元素下标。
QUICKSORT(A,p,r){
if (p＜r){
q=PARTITION(A,p,r);
QUICKSORT(A,p,q-1);
QUICKSORT(A,q+1,r);
}
}
PARTITION(A,p,r){
x=A[r];
i=p-1;
for (j=p;j＜=r-1;j++){
if (A[j]＜=x){
i=i+1;
交换A[i]和A[j];
}
}
交换{{U}} {{U}} 1 {{/U}} {{/U}}和{{U}} {{U}} 2 {{/U}} {{/U}}
//注：空{{U}} 1 {{/U}}和空{{U}} 2 {{/U}}答案可互换，但两空全部答对方可得分
return{{U}} {{U}} 3 {{/U}} {{/U}}
}
【正确答案】(1)A[i+1]或A[r]。
(2)A[r]或A[i+1]。
(3)i+1。
【答案解析】[解析] 该题主要考查考生对分治算法的快速排序的理解，对伪代码、快速排序的复杂度的掌握，做题的关键是要读懂题干，理解题干中对算法的描述。
考查的是算法的伪代码表示。分治法的设计思想是将一个难以直接解决的问题，分解成一些规模较小的相同问题，各个击破。其快速排序算法的核心处理是进行划分，根据枢轴元素的值，把一个较大的数组分成两个较小的子数组。一个子数据组的所有元素的值小于等于枢轴元素的值，一个子数组的所有元素的值大于枢轴元素的值，而子数组内的元素不排序。以最后一个元素为枢轴元素进行划分，从左到右依次访问数组的每一个元素，与枢轴元素比较大小，并进行元素的交换。在问题1给出的伪代码中，当循环结束后，A[p..i]中的值小于等于枢轴元素值x，而A[i+1..r-1]中的值应大于x。此时A[i+1]是第一个比A[r]大的元素，于是A[r]与A[i+1]交换，得到划分后的两个子数组。由于划分操作(即PARTITION操作)返回枢轴元素的值，因此返回值为i+1。
问答题
(1)假设要排序包含n个元素的数组，请给出在各种不同的划分情况下，快速排序的时间复杂度，用O记号。最佳情况为{{U}} {{U}} 2 {{/U}} {{/U}}，平均情况为{{U}} {{U}} 3 {{/U}} {{/U}}，最坏情况为{{U}} {{U}} 4 {{/U}} {{/U}}。
(2)假设要排序的n个元素都具有相同值时，快速排序的运行时间复杂度属于哪种情况?{{U}} {{U}} 5 {{/U}} {{/U}}。(最佳、平均、最坏)
【正确答案】(4)O(nlgn)或O(nlog2n)。
(5)O(nlgn)或O(nlog2n)。
(6)O(n2)。
(7)最坏。
【答案解析】[解析] 考查的是算法的时间复杂度分析。当每次都能做均匀划分时，是算法的最佳情况，其时间复杂度为T(N)=2T(n/2)+O(N)，即时间复杂度为O(nlgn)；算法的最坏情况是每次为极不均匀划分，即长度为n的数组划分后一个子数组为n-1，一个为0，其时间复杂度为T(N)=T(n-1)+O(N)，即时间复杂度为O(n2)；算法的平均情况分析起来比较复杂，假设数组每次划分为9/10:1/10，此时时间复杂度可以通过计算得到为O(nlgn)；也就是说在平均情况下快速排序仍然有较好的性能。问题2中假设要排序的n个元素都具有相同值时，快速排序的运行时间复杂度，属于最坏情况，因为每次都划分为长度为n-1和0的两个子数组。
问答题
(1)待排序数组是否能被较均匀地划分对快速排序的性能有重要影响，因此枢轴元素的选取非常重要。有人提出从待排序的数组元素中随机地取出一个元素作为枢轴元素，下面是随机化快速排序划分的伪代码——利用原有的快速排序的划分操作，请填充其中的空缺处。其中，RANDOM(i,j)表示随机取i到j之间的一个数，包括i和j。
RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r){
i=RANDOM(p,r);
交换{{U}} {{U}} 3 {{/U}} {{/U}}和{{U}} {{U}} 4 {{/U}} {{/U}}; //空{{U}} 3 {{/U}}和空{{U}} 4 {{/U}}答案可互换，但两空全部答对方可得分
return PARTITION(A,p,r);
}
(2)随机化快速排序是否能够消除最坏情况的发生?{{U}} {{U}} 5 {{/U}} {{/U}}。(是或否)
【正确答案】(8)A[i]。
(9)A[r]。
(10)否。
【答案解析】[解析] 由于随机化的快速排序的划分调用了PARTITION操作，而传统划分每次以数组的最后一个元素作为枢轴元素。随机化的快速排序消除了输入数据的不同排列对算法性能的影响，降低了极端不均匀划分的概率，但不能保证不会导致最坏情况的发生。