解答题
9.设f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)＝f(b)＝0，f′＋(a)f′－(b)＞0，且g(χ)≠0(χ∈[a，b])，g〞(χ)≠0(a＜χ＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
【正确答案】设f′＋(a)＞0，f′－(b)＞0，
由f′＋(a)＞0，存在χ1∈(a，b)，使得f(χ1)＞f(a)＝0；
由f′－(6)＞0，存在χ2∈(a，b)，使得f(χ2)＜f(b)＝0，
因为f(χ1)f(χ2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．
令h(χ)＝
，显然h(χ)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，
存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)＝h′(ξ2)＝0，
令φ(χ)＝f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，
而φ′(χ)＝f〞(χ)g(χ)－f(χ)g〞(χ)，
所以
由f′＋(a)＞0，存在χ1∈(a，b)，使得f(χ1)＞f(a)＝0；
由f′－(6)＞0，存在χ2∈(a，b)，使得f(χ2)＜f(b)＝0，
因为f(χ1)f(χ2)＜0，所以由零点定理，存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0．
令h(χ)＝
，显然h(χ)在[a，b]上连续，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)＝h′(ξ2)＝0，
令φ(χ)＝f′(χ)g(χ)－f(χ)g′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，
由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)
(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f〞(χ)g(χ)－f(χ)g〞(χ)，
所以
【答案解析】