选择题 8.设当｜x｜＜1时

展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝

A、 a_n＋2＝a_n＋1＋a_n．
B、 a_n－3＝a_n．
C、 a_n＋4＝a_n＋2＋a_n．
D、 a_n－6＝a_n．

【正确答案】 D

【答案解析】由

，得f(0)＝1，再由
f(x)(x₂－x＋1)＝x＋1，(*)
两边对x求一阶导数，得 f＇(x)(x²－x＋1)＋f(x)(2x－1)＝1，
将x＝0代入，得 f＇(0)－f(0)＝1，f＇(0)＝f(0)＋1＝2．
在(*)式两边对x求n阶导数，n≥2，有
f⁽ⁿ⁾(x)(x²－x＋1)＋C_n¹f^(n－1)(x)(2x－1)＋C_n²f^(n－2)(x)?2＝0，
将x＝0代入，得 f⁽ⁿ⁾(0)－C_n¹f^(n-1)(0)＋2C_n²f^{(n－2)(0)＝0，
即 f⁽ⁿ⁾(0)＝nf^(n－1)(0)－n(n－1)f^(n－2)(0)，n＝2，3，…．}