解答题
(Ⅰ)设A是n阶方阵，A=O是否是A2=O的充分必要条件，说明理由；
(Ⅱ)设A是2阶方阵，证明A3=O的充分必要条件是A2=O．
(Ⅱ)设A是2阶方阵，证明A3=O的充分必要条件是A2=O．
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)[解] 因A=O，则A2=O，故A=O是A2=O的充分条件．
取反例，
知A=O不是A2=O的必要条件．
(Ⅱ)[证] 因A2=O，则A3=O，故A2=O是A3=O的充分条件．
现证
因A3=O，故|A3|=|A|3=O，即|A|=O，则A是不可逆矩阵．
故r(A)＜2，即r(A)=或r(A)=1．
当r(A)=0时，
当r(A)=1时，A≠O，A的两列成比例．设
其中μ≠0，若μ=0已证A2=O．由A3=A2A=μAA=μA2=O，μ≠O，得证A2=O．
故当A是2阶方阵时，
取反例，
知A=O不是A2=O的必要条件．(Ⅱ)[证] 因A2=O，则A3=O，故A2=O是A3=O的充分条件．
现证
因A3=O，故|A3|=|A|3=O，即|A|=O，则A是不可逆矩阵．
故r(A)＜2，即r(A)=或r(A)=1．
当r(A)=0时，
当r(A)=1时，A≠O，A的两列成比例．设
其中μ≠0，若μ=0已证A2=O．由A3=A2A=μAA=μA2=O，μ≠O，得证A2=O．
故当A是2阶方阵时，