问答题
若曲线上任一点处的切线，坐标轴以及过切点平行于x轴的直线所围成的梯形面积等于4，且曲线过点(2，2)，求该曲线．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设所求曲线y=f(x)，切点为(x，y)，切线方程为Y-y=y"(X-x)，
令Y=0，得切线在x轴上的截距
．此梯形下底长即X，上底长为x，高为y，故梯形面积
，即
2(xy-4)y"=y 2 ，
即
①(一阶性并齐次微分方程)
先解
，积分得
lnx=2lny+lnC，
∴x=Cy 2 (齐通)．
再解非齐次微分方程，常数变易法，
令x=C(y)y 2 ，
代入式①得
即
又x=2，y=2，得
∴所求曲线方程为
令Y=0，得切线在x轴上的截距
．此梯形下底长即X，上底长为x，高为y，故梯形面积
，即
2(xy-4)y"=y 2 ，
即
①(一阶性并齐次微分方程)
先解
，积分得
lnx=2lny+lnC，
∴x=Cy 2 (齐通)．
再解非齐次微分方程，常数变易法，
令x=C(y)y 2 ，
代入式①得
即
又x=2，y=2，得
∴所求曲线方程为