设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量组，满足
Aa
1
＝α
1
＋α
2
＋α
3
，Aa
2
＝2α
2
＋α
3
，Aa
3
＝2α
2
＋3α
3
．
(1)求作矩阵B，使得A(α
1
，α
2
，α
3
)＝(α
1
，α
2
，α
3
)B．
(2)求A的特征值．
(3)求作可逆矩阵P，使得P
-1
AP为对角矩阵．
【正确答案】正确答案：(1)根据题意得，B＝
(2)由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，(α
1
，α
2
，α
3
)是可逆矩阵，并且(α
1
，α
2
，α
3
)
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)＝B，因此A和B相似，特征值相同． ｜λ－B｜＝
＝(λ－1)(λ
2
－5λ＋4)＝(λ－1)
2
(λ－4)． B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 (3)先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，－1，0)
T
，(0，2，－1)
T
；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)
T
．构造矩阵
令P＝(α
1
，α
2
，α
3
)D＝(α
1
－α
2
，2α
2
－α
3
，α
2
＋α
3
)，则 p
-1
AP＝D
-1
(α
1
，α
2
，α
3
)
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)D＝D
-1
BD＝
(2)由于α
1
，α
2
，α
3
线性无关，(α
1
，α
2
，α
3
)是可逆矩阵，并且(α
1
，α
2
，α
3
)
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)＝B，因此A和B相似，特征值相同． ｜λ－B｜＝
＝(λ－1)(λ
2
－5λ＋4)＝(λ－1)
2
(λ－4)． B的特征值为1，1，4．A的特征值也为1，1，4 (3)先把B对角化．求出B的属于1的两个无关的特征向量(1，－1，0)
T
，(0，2，－1)
T
；求出B的属于4的一个特征向量(0，1，1)
T
．构造矩阵
令P＝(α
1
，α
2
，α
3
)D＝(α
1
－α
2
，2α
2
－α
3
，α
2
＋α
3
)，则 p
-1
AP＝D
-1
(α
1
，α
2
，α
3
)
-1
A(α
1
，α
2
，α
3
)D＝D
-1
BD＝
【答案解析】