解答题
4.函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝1，且满足等式
【正确答案】[详解1](1)根据题设，有
(x＋1)f'(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(x)dt＝0，
上式两边对x求导，得
(x＋1)f"(x)＝－(x＋2)f'(x)，
即
。
两边积分，得
lnf'(x)＝－x＋ln(x＋1)＋lnC，
即有
。
在题设等式中令x＝0，得f'(0)＋f(0)＝0，又f(0)＝1，于是f'(0)＝－1，代入f'(x)的
表达式，得C＝－1，故有
(2)当x≥0时，f'(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)＝1，所以
f(x)≤f(0)＝1．
设ψ(x)＝f(x)－e－x，则ψ(0)＝0，ψ'(x)＝f'(x)＋ex＝
。
当x≥0时，ψ'(x)≥0，即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)＝0，即有
f(x)≥e－x．
综上所述，当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．
[详解2](1)解法同详解1．
(2)由于f(x)＝f(0)＋∫0xf'(t)dt＝
，由于当t≥0时，
，于是由定积分的性质得
(x＋1)f'(x)＋(x＋1)f(x)－∫0xf(x)dt＝0，
上式两边对x求导，得
(x＋1)f"(x)＝－(x＋2)f'(x)，
即
。两边积分，得
lnf'(x)＝－x＋ln(x＋1)＋lnC，
即有
。在题设等式中令x＝0，得f'(0)＋f(0)＝0，又f(0)＝1，于是f'(0)＝－1，代入f'(x)的
表达式，得C＝－1，故有
(2)当x≥0时，f'(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)＝1，所以
f(x)≤f(0)＝1．
设ψ(x)＝f(x)－e－x，则ψ(0)＝0，ψ'(x)＝f'(x)＋ex＝
。当x≥0时，ψ'(x)≥0，即ψ(x)单调增加，因而ψ(x)≥ψ(0)＝0，即有
f(x)≥e－x．
综上所述，当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1．
[详解2](1)解法同详解1．
(2)由于f(x)＝f(0)＋∫0xf'(t)dt＝
，由于当t≥0时，，于是由定积分的性质得【答案解析】[分析] 含有变限的定积分问题，一般都是先求导，引出一微分方程．本题若直接求导不能消去积分，因此应先乘以x＋1，再求导．(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果，引进适当的辅助函数后，用单调性即可完成证明．
[评注1]将方程
[评注1]将方程