问答题
在上半平面求一条凹的曲线，其任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
【正确答案】
【答案解析】[解]
草图见上图，所求曲线为y=f(x)．于是其在P(x，y)点处的曲率为
(因为曲线为凹的，所以y"＞0)，
曲线y=f(x)在P(x，y)点处的法线方程为
它与x轴的交点Q的坐标为Q(x+yy"，0)，于是
由题设
即
初始条件为y| x=1 =1，y"| x=1 =0．
令y"=p，
，于是方程变为
代入y"|
x=1
=0，得C
1
=0．
积分得
代入y|
x=1
=1，得C
2
=0，
故所求曲线为
即
草图见上图，所求曲线为y=f(x)．于是其在P(x，y)点处的曲率为
(因为曲线为凹的，所以y"＞0)，
曲线y=f(x)在P(x，y)点处的法线方程为
它与x轴的交点Q的坐标为Q(x+yy"，0)，于是
由题设
即
初始条件为y| x=1 =1，y"| x=1 =0．
令y"=p，
，于是方程变为
代入y"|
x=1
=0，得C
1
=0．
积分得
代入y|
x=1
=1，得C
2
=0，
故所求曲线为
即