过原点作曲线y=
的切线L，该切线与曲线y=
的切线L，该切线与曲线y=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)设切线的切点为（x
0
，y
0
），则切线的斜率为y'（x
0
）=
，所以切线L的方程为 y= y
0
+
(x— x
0
) 其中y
0
=
因L过(0，0)点，把x=0，y=0代入上述方程得
即 x
0
=2，y
0
=e 因此所求切线L的方程为
(Ⅱ)平面图形D如右图． 取积分变量为y．设y=
ex，y=e，)，轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V
1
，它是锥体，V
1
=
（x∈[0，2]）即x=2lny(y∈[1，e])，y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V
2
，则V=V
1
—V
2
， V
2
=π∫
1
e
f(2lny)
2
dy = 4π[ yln
2
y|∫
1
e
y．2lny．
] = 4π[e— 2∫
1
e
lydy] = 4π[e— 2ylny|
1
e
+2∫
1
e
dy] = 4π[e— 2e+2(e—1) ] = 4π(e— 2) 因此 V= V
1
— V
2
=8π一
，所以切线L的方程为 y= y
0
+
(x— x
0
) 其中y
0
=
因L过(0，0)点，把x=0，y=0代入上述方程得
即 x
0
=2，y
0
=e 因此所求切线L的方程为
(Ⅱ)平面图形D如右图． 取积分变量为y．设y=
ex，y=e，)，轴所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积为V
1
，它是锥体，V
1
=
（x∈[0，2]）即x=2lny(y∈[1，e])，y=e，y轴所围平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积为V
2
，则V=V
1
—V
2
， V
2
=π∫
1
e
f(2lny)
2
dy = 4π[ yln
2
y|∫
1
e
y．2lny．
] = 4π[e— 2∫
1
e
lydy] = 4π[e— 2ylny|
1
e
+2∫
1
e
dy] = 4π[e— 2e+2(e—1) ] = 4π(e— 2) 因此 V= V
1
— V
2
=8π一
【答案解析】