填空题
设Ω是由平面x+y+z=1与三个坐标平面所围成的空间区域，则∫∫∫
Ω
(x+2y+3z)dxdydz= 1.
- 1、
【正确答案】
1、正确答案：[*]
【答案解析】解析：在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算． 利用轮换对称性，知
，于是
(x+2y+3z)dxdydz=
xdxdydz=6∫
0
1
xdx∫
0
1-x
dy∫
0
1-x-y
dz =∫
0
1
xdx∫
0
1-x
(1-x-y)dy=3∫
0
1
(x-2x
2
+x
3
)dx
故应填
，于是
(x+2y+3z)dxdydz=
xdxdydz=6∫
0
1
xdx∫
0
1-x
dy∫
0
1-x-y
dz =∫
0
1
xdx∫
0
1-x
(1-x-y)dy=3∫
0
1
(x-2x
2
+x
3
)dx
故应填