问答题
利用单调性证明下列不等式：
问答题
x＞0时，ln(1+x)＞x - x
2
/2；
【正确答案】正确答案：设f(x)=ln(1+x) - x+x
2
/2，则f"(x)=1/(1+x)+x - 1=x
2
/(1+x)＞0(x＞0)．所以当x＞0时，函数f(x)单调增加．于是当x＞0时，f(x>＞f(0)，即ln(1+x) - x+x
2
/2＞0．所以当x＞0时，ln(1+x)＞x - x
2
/2．
【答案解析】
问答题
x≥1时，e
x
≥xe；
【正确答案】正确答案：设f(x)=e
x
- xe，则有f"(x)=e
x
- e＞0(x≥1)．所以当x≥1时f(x)单调增加．于是当x≥1时，f(x)≥f(1)，即e
x
- xe≥0，所以当x≥1时，e
x
≥xe．
【答案解析】
问答题
x＞4时，2
x
＞x
2
．
【正确答案】正确答案：在不等式两边取对数得xln2＞2lnx，设f(x)=xln2 - 2lnx，则f"(x)=ln2 - 2/x＞ln2 - 1/2＞0(x＞4)．所以当x＞4时，f(x)单调增加，因而当x＞4时，xln2 - 2lnx＞0，亦即当x＞4时，2
x
＞x
2
．
【答案解析】