设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
(n≥2)．
(1)证明方程f
n
(x)=1有唯一的正根x
n
；
(2)求
【正确答案】正确答案：(1)令φ
n
(x)=f(x)-1，因为φ
n
(0)=-1＜0，φ
n
(1)=n-1＞0，所以φ
n
(x)在(0，1)
(0，+∞)内有一个零点，即方程f
n
(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φ'
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
＞0，所以φ
n
(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ
n
(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x
n
， (2)由f
n
(x
n
)-f
n-1
(x
n-1
)=0，得 (x
n
-x
n-1
)+(x
n
2
-x
n-1
2
)+…+(x
n
n
-x
n+1
n
)=x
n+1
n+1
＞0，从而x
n
＞x
n-1
，所以{x
n
}
n-1
单调减少，又x
n
＞0(n=1，2，…)，故
x
n
存在，设
x
n
=A，显然A≤x
n
≤x
1
=-1，由x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=1，得
=1，两边求极限得
=1，解得A=
(0，+∞)内有一个零点，即方程f
n
(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φ'
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
＞0，所以φ
n
(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φ
n
(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程f(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为x
n
， (2)由f
n
(x
n
)-f
n-1
(x
n-1
)=0，得 (x
n
-x
n-1
)+(x
n
2
-x
n-1
2
)+…+(x
n
n
-x
n+1
n
)=x
n+1
n+1
＞0，从而x
n
＞x
n-1
，所以{x
n
}
n-1
单调减少，又x
n
＞0(n=1，2，…)，故
x
n
存在，设
x
n
=A，显然A≤x
n
≤x
1
=-1，由x
n
+x
n
2
+…+x
n
n
=1，得
=1，两边求极限得
=1，解得A=
【答案解析】