给出满足下列条件的微分方程：
(Ⅰ)方程有通解y=(C
1
+C
2
x+x
—1
)e
—x
；
(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程，并有两个特解
y
1
=cos2x一
【正确答案】正确答案：(1)通解变形为e
x
y=C
1
+C
2
x+x
—1
，求导得 e
2
(y'+y)=C
2
一x
—2
， 再求导得方程e
x
(y"+2y'+y)=
e
—x
． (Ⅱ)由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C
1
cos2x+C
2
Sin2x一
xsin2x， 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i，且一
xsin2x为其特解．进而知原方程为 y"+4y=f(x)．
e
—x
． (Ⅱ)由题设，根据方程解的结构知，方程的通解为 y=C
1
cos2x+C
2
Sin2x一
xsin2x， 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i，且一
xsin2x为其特解．进而知原方程为 y"+4y=f(x)．
【答案解析】解析：由已知解求原方程，首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征．从本题题设观察，所求方程均为二阶常系数线性微分方程．在此基础上，或者直接对通解二次求导消去两个任意常数，从而得到方程；或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程．