【正确答案】取F(x)=f(x)-[*]， 由题意知F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 [*] 根据罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得[*]，即 f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)．

【正确答案】对于任意的t∈(0，δ)，函数f(x)在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理
[*]，其中ξ∈(0，t)．
由于[*]，且当t→0⁺时，ξ→0⁺，所以[*]，故[*]存在，且[*]=A．

【答案解析】本题主要考查拉格朗日中值定理的证明及其应用．

【正确答案】解 f(x)的定义域为(-∞，+∞)，由于 [*] 所以f(x)的驻点为x=0，±1． 列表讨论如下， [*] 因此，f(x)的单调增加区间为(-1，0)及(1，+∞)，单调减少区间为(-∞，-1)及(0，1)；极小值为f(±1)=0，极大值为[*]．

【答案解析】本题是一道综合题．主要考查变上限积分求导及确定函数单调区间和极值的方法．

【正确答案】解1 令f(x)=karctanx=x，则f(x)是(-∞，+∞)上的奇函数，且 f(0)=0，[*]． 当k-1≤0即k≤1时，f'(x)＜0(x≠0)，f(x)在(-∞，+∞)内单调减少，方程f(x)=0只有一个实根x=0． 当k-1＞0即k＞1时，在[*]内，f'(x)＞0，f(x)单调增加；在[*]内，f'(x)＜0，f(x)单调减少，所以[*]是f(x)在(0，+∞)内的最大值． 由于f(0)=0，所以[*]＞0． 又因为[*]，所以存在ξ∈[*]，使得f(ξ)=0． 由f(x)是奇函数及其单调性可知：当k＞1时，方程f(x)=0有且仅有三个不同实根x=-ξ，x=0，x=ξ 解2 令f(x)=karctanx-x，显然f(x)是奇函数，则其零点关于原点对称，f(0)=0，只需讨论f(x)在(0，+∞)上零点的个数，为此，令 g(x)=[*]-k x∈(0，+∞) g(x)与f(x)在(0，+∞)内零点个数相同， [*] 则g'(x)＞0 x∈(0，+∞) g(x)单调增，又 [*] 若k≤1，g(x)在(0，+∞)内无零点，原方程有唯一实根x=0； 若k＞1．g(x)在(0，+∞)内有唯一零点，原方程有三个实根．

【答案解析】本题是一道带有参数的方程根的个数的问题，主要考查求解此类问题的方法．

【正确答案】△证1 令[*]，-1＜x＜1． 显然f(x)为偶函数，因此，只要证明 f(x)≥0 x∈[0，1) 由于 [*]当x∈(0，1)时，[*]， 则[*] 从而有 f(x)＞0 x∈(0，1) 又 f(0)=0 则 f(x)≥0 x∈[0，1) 故原不等式成立． △证2 由证1知，只要证明f(x)≥0 x∈[0，1)为此，先证cosx≥1-[*]，x∈[0，1) 令 g(x)=cosx-1+[*]，由于 g'(x)=-sinx+x＞0 x∈(0，1) 又 g(0)=0，则g(x)≥0 x∈[0，1) 要证f(x)≥0，只要证明 [*] 即，只要证[*] x∈[0，1) 令 [*]=ln(1+x)-ln(1-x)-x 则 [*] x∈(0，1) 又[*]，则[*] x∈[0，1] 故 [*] (-1＜x＜1) 证3 记[*]，则 [*] [*] 当-1＜x＜1时，由于[*]，1+cosx≤2，所以f"(x)≥2＞0，从而f'(x)单调增加 又因为f'(0)=0，所以，当-1＜x＜0时，f'(x)＜0；当0＜x＜1时，f'(x)＞0，于是，f(0)=0是函数f(x)在(-1，1)内的最小值． 从而当-1＜x＜1时，f(x)≥f(0)=0，即 [*]

【答案解析】本题主要考查函数不等式的证明．所用的方法是一种最常用的方法，利用单调性证明不等式，前两种方法中利用了奇偶性使证明更简单．