解答题
2.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开动．试求两台自动记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．
【正确答案】设第i台自动记录仪无故障工作的时间为Xi，(i＝1，2)，由题意，X1与X2独立同分布，概率密度为
且知EX1＝EX2＝
．DX1＝DX2＝
，T＝X1＋X2
故ET＝EX1＋EX2＝
，DT＝DX1＋DX2＝
下而求f(t)．
用卷积公式知：
f(t)＝∫－∞＋∞fX(χ1)fX(t－χ1)dχi
＝∫0＋5e－5χf(t－χ)dχ
当t≤0时，f(t)＝0(∵积分中χ≥0，∴χ≥t，f(t－χ)＝0)；
当t＞0时，f(t)＝∫0t5e－5χ.5e－5(t－χ)dχ＝25∫0ye－5tdχ＝25te－5t
故f(t)＝
且知EX1＝EX2＝
．DX1＝DX2＝，T＝X1＋X2故ET＝EX1＋EX2＝
，DT＝DX1＋DX2＝下而求f(t)．
用卷积公式知：
f(t)＝∫－∞＋∞fX(χ1)fX(t－χ1)dχi
＝∫0＋5e－5χf(t－χ)dχ
当t≤0时，f(t)＝0(∵积分中χ≥0，∴χ≥t，f(t－χ)＝0)；
当t＞0时，f(t)＝∫0t5e－5χ.5e－5(t－χ)dχ＝25∫0ye－5tdχ＝25te－5t
故f(t)＝
【答案解析】