解答题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，且α1=(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
问答题
23.验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
【正确答案】由Aα1=λ1α1知
Bα1=(A5－4A3+E)α1
=(λ1－4λ1+1)α1=－2α1，
故α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量．
类似，矩阵B的其他两个特征值为λi5－4λi3+1(i=2，3)．所以B的全部特征值为－2，1，1．
因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1，
x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有
x1－x2+x3=0，
解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(－1，0，1)T．故矩阵B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1(k1为不等于零的任意常数)；属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2，k3是不全为零的任意常数)．
Bα1=(A5－4A3+E)α1
=(λ1－4λ1+1)α1=－2α1，
故α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量．
类似，矩阵B的其他两个特征值为λi5－4λi3+1(i=2，3)．所以B的全部特征值为－2，1，1．
因为A是实对称矩阵，故B也是实对称的．若设(x1，x2，x3)T为B的属于特征值1的特征向量，则必有(x1，
x2，x3)α1=0，即(x1，x2，x3)T与α1正交．所以有
x1－x2+x3=0，
解此方程得其基础解系为α2=(1，1，0)T，α3=(－1，0，1)T．故矩阵B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1(k1为不等于零的任意常数)；属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2，k3是不全为零的任意常数)．
【答案解析】
问答题
24.求矩阵B。
【正确答案】令
求得
由
知
注：矩阵B也可由下列方法求得：
单位化α1得
将α1，α3正交化、单位化得
由ξ1，ξ2，ξ3构成正交矩阵
则
求得
由
知注：矩阵B也可由下列方法求得：
单位化α1得
将α1，α3正交化、单位化得
由ξ1，ξ2，ξ3构成正交矩阵
则
【答案解析】