解答题
10.设向量组(I)：b1，…，br能由向量组(Ⅱ)：a1，…，as线性表示为(b1，…，br)=(1，…，as)K，其中K为s×r矩阵，且向量组(Ⅱ)线性无关。证明向量组(Ⅱ)线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩r(K)=r。
【正确答案】必要性：
令B=(b1，…，bR)，A=(a1，…，aS)，则有B=AK，由定理
r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，
结合向量组(I)：b1，b2，…，br，线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。
又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}≤r。
综上所述
r≤r(K)≤r，即r(K)=r。
充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为
，存在可逆矩阵P使
于是有
由矩阵秩的性质
令B=(b1，…，bR)，A=(a1，…，aS)，则有B=AK，由定理
r(B)=r(AK)≤min{r(A)，r(K)}，
结合向量组(I)：b1，b2，…，br，线性无关知r(B)=r，故r(K)≥r。
又因为K为r×s阶矩阵，则有r(K)≤min{r，s}≤r。
综上所述
r≤r(K)≤r，即r(K)=r。
充分性：已知r(K)=r，向量组(Ⅱ)线性无关，r(A)=s，因此A的行最简矩阵为
，存在可逆矩阵P使于是有
由矩阵秩的性质
【答案解析】