过坐标原点作曲线y=e
x
的切线，该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向x轴负向无限伸展的平面图形，记为D，求
(Ⅰ)D的面积A；
(Ⅱ)D绕直线x=1所成的旋转体的体积V。
【正确答案】正确答案：设切点坐标为P(x
0
，y
0
)，于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为k=
，则切线方程为y—y
0
=
(x一x
0
)。它经过点(0，0)，所以一y
0
=一x
0
，代入求得x
0
=1，从而y
0
=
=e，即切线方程为y=ex。 (Ⅰ)取水平微元为A的面积元素，D的面积
(Ⅱ)如图3—18所示，D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
，则切线方程为y—y
0
=
(x一x
0
)。它经过点(0，0)，所以一y
0
=一x
0
，代入求得x
0
=1，从而y
0
=
=e，即切线方程为y=ex。 (Ⅰ)取水平微元为A的面积元素，D的面积
(Ⅱ)如图3—18所示，D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为
【答案解析】