问答题
已知某企业的生产函数f(x，x)=min(x，x)
1/α
，xl和z2为两种投入要素的数量，α＞0为常数，求出利润最大化的需求函数、供给函数和利润函数。讨论利润最大化时α必须满足的约束条件。(北大2003研)
【正确答案】正确答案：(1)企业的生产函数为f(x
1
，x
2
)=min(x
1
，x
2
)
1/α
(α＞0) 企业的等产量曲线如图6．6所示。
此时，不管x
1
，x
2
的价格如何，其最佳投入比例都是x
1
=x
2
。要使企业存在一个最大化的利润，必须使企业的生产函数为规模报酬递减的，即： f(tx
1
，tx
2
)=min(tx
1
，tx
2
)
1/α
=t
1/α
．f(x
1
，x
2
)，其中的
＜1。 因此，α＞1。 所以只有当α＞1时企业存在利润最大化的需求函数，供给函数及利润函数。 (2)企业的利润最大化问题为：max{p．f(x
1
，x
2
)一w
1
x
1
—w
2
x
2
}，其中P为产品价格，w
1
，w
2
分别为生产要素x
1
和x
2
的价格；又由(1)的分析可知：x
1
=x
2
。 所以利润最大化问题又可转化为max{p．x
1/α
一(w
1
+w
2
)x}。对p．x
1/α
一(w
1
+w
2
)x中的x求一阶导数并令其为零得：p．
．x
1/α—1
=w
1
+w
2
，因此： x
*
=(
)
1/(1—α)
所以利润最大化的需求函数为x
1
=x
2
=(
)
α/(1—α)
； 利润最大化的供给函数为y=f(x
1
，x
2
)=(
)
1/(1—α)
； 利润函数为π(p，w
1
，w
2
)=
此时，不管x
1
，x
2
的价格如何，其最佳投入比例都是x
1
=x
2
。要使企业存在一个最大化的利润，必须使企业的生产函数为规模报酬递减的，即： f(tx
1
，tx
2
)=min(tx
1
，tx
2
)
1/α
=t
1/α
．f(x
1
，x
2
)，其中的
＜1。 因此，α＞1。 所以只有当α＞1时企业存在利润最大化的需求函数，供给函数及利润函数。 (2)企业的利润最大化问题为：max{p．f(x
1
，x
2
)一w
1
x
1
—w
2
x
2
}，其中P为产品价格，w
1
，w
2
分别为生产要素x
1
和x
2
的价格；又由(1)的分析可知：x
1
=x
2
。 所以利润最大化问题又可转化为max{p．x
1/α
一(w
1
+w
2
)x}。对p．x
1/α
一(w
1
+w
2
)x中的x求一阶导数并令其为零得：p．
．x
1/α—1
=w
1
+w
2
，因此： x
*
=(
)
1/(1—α)
所以利润最大化的需求函数为x
1
=x
2
=(
)
α/(1—α)
； 利润最大化的供给函数为y=f(x
1
，x
2
)=(
)
1/(1—α)
； 利润函数为π(p，w
1
，w
2
)=
【答案解析】