问答题
设h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f
xy
''(0，0)，h'(1)=f
yx
''(0，0)，且满足
x
2
y
2
z
2
h'''(xyz)，求u的表达式，其中
x
2
y
2
z
2
h'''(xyz)，求u的表达式，其中
【正确答案】正确答案：因为 u
x
'=yzh'(xyz)．u
xy
''=zh'(xyz)+xyz
2
h"(xyz)， u
xyz
'''=h'(xyz)+xyzh''(xyz)+2xyzh''(xyz)+x
2
y
2
z
2
h'''(xyz)， 所以3xyzh''(xyz)+h'(xyz)=0，令xyz=t，得3th"(t)+h'(t)=0． 设v=h'(t)，得3tv'+v=0，分离变量，得
又f(x，0)=0，则易知f
x
'(0，0)=0，当(x，y)≠(0，0)时，有
于是f
x
'(0，y)=－y，所以f
xy
''(0，0)=－1，由对称性知f
yx
''(0，0)=1，所以h(1)=－1，h'(1)=1， 于是
又f(x，0)=0，则易知f
x
'(0，0)=0，当(x，y)≠(0，0)时，有
于是f
x
'(0，y)=－y，所以f
xy
''(0，0)=－1，由对称性知f
yx
''(0，0)=1，所以h(1)=－1，h'(1)=1， 于是
【答案解析】