解答题
20.设齐次线性方程组Ax＝0的基础解系为α1＝(1，3，0，2)T，α2＝(1，2，－1，3)T．
Bx＝0的基础解系为β1＝(1，1，2，1)T，β2＝(0，－3，1，a)T．
若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，求a的值并求公共解．
Bx＝0的基础解系为β1＝(1，1，2，1)T，β2＝(0，－3，1，a)T．
若Ax＝0和Bx＝0有非零公共解，求a的值并求公共解．
【正确答案】设非零公共解为γ，则γ既可由α1和α2线性表示，也可由β1和β2线性表示．
设γ＝x1α1＋x2α2＝－x3β1－x4β2，则x1α1＋x2α2＋x3β1＋x4β2＝0．
不全为零
当a＝0时，
解得
令x4＝t，则x1＝2t，x2＝－t，x3＝－t，x4＝t．
所以非零公共解为2tα1－tα2＝t(1，4，1，1)T，t为非零常数．
设γ＝x1α1＋x2α2＝－x3β1－x4β2，则x1α1＋x2α2＋x3β1＋x4β2＝0．
不全为零当a＝0时，
解得
令x4＝t，则x1＝2t，x2＝－t，x3＝－t，x4＝t．所以非零公共解为2tα1－tα2＝t(1，4，1，1)T，t为非零常数．
【答案解析】【思路探索】设出公共解，进而转化为线性方程组的解．
【错例分析】本题主要错误在于设出公共解，却未能转化为齐次线性方程组的求解．
【错例分析】本题主要错误在于设出公共解，却未能转化为齐次线性方程组的求解．