设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式
[xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x
2
y]dy
为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．
【正确答案】正确答案：由题设知存在可微函数u(x，y)，使du(x，y)＝[xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x
2
y]dy， 于是知
又因f(x)具有一阶连续导数，故
连续且相等，于是有
即f＇(x)＋f(x)＝x，此为一阶线性微分方程，结合条件f(0)＝0解得f(x)＝x一1＋e
-x
． 所以 du(x，y)＝[xy(1＋y)一y(x一1＋e
-x
)]dx＋(x－1＋e
-x
＋x
2
y)dy ＝(xy
2
＋y—ye
-x
)dx＋(x－1＋e
-x
＋x
2
y)dy． 由du(x，y)的表达式求u(x，y)有多种方法． 法一 凑原函数法．此方法有技巧性，要求读者对用微分形式不变性求微分相当熟练．
所以
(C为任意常数). 法二 偏积分法．由du(x，y)的表达式知
所以
其中ψ(y)对y可微．由题设知
于是有
则ψ(y)＝一1，即ψ＇(y)＝－y＋C(C为任意常数)． 所以
(C为任意常数) 法三 用第二型曲线积分求原函数．由所给的du(x，y)知，它的
中的P(x，y)与Q(x，y)在全平面具有连续的一阶偏导数且
故可以用第二型曲线积分，取起点为(0，0)较方便，计算
由于此曲线积分与路径无关，取折线(0，0)→(0，y)→(x，y)，于是
又因f(x)具有一阶连续导数，故
连续且相等，于是有
即f＇(x)＋f(x)＝x，此为一阶线性微分方程，结合条件f(0)＝0解得f(x)＝x一1＋e
-x
． 所以 du(x，y)＝[xy(1＋y)一y(x一1＋e
-x
)]dx＋(x－1＋e
-x
＋x
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y)dy ＝(xy
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＋y—ye
-x
)dx＋(x－1＋e
-x
＋x
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y)dy． 由du(x，y)的表达式求u(x，y)有多种方法． 法一 凑原函数法．此方法有技巧性，要求读者对用微分形式不变性求微分相当熟练．
所以
(C为任意常数). 法二 偏积分法．由du(x，y)的表达式知
所以
其中ψ(y)对y可微．由题设知
于是有
则ψ(y)＝一1，即ψ＇(y)＝－y＋C(C为任意常数)． 所以
(C为任意常数) 法三 用第二型曲线积分求原函数．由所给的du(x，y)知，它的
中的P(x，y)与Q(x，y)在全平面具有连续的一阶偏导数且
故可以用第二型曲线积分，取起点为(0，0)较方便，计算
由于此曲线积分与路径无关，取折线(0，0)→(0，y)→(x，y)，于是
【答案解析】