问答题
求二元函数z=f(x，y)=x
2
y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．
【正确答案】正确答案：由方程组
得线段x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点．又 f"
xx
=8y一6xy一2y
2
，f"
xy
=8x一3x
2
—4xy，f"
yy
=一2x
2
在点(2，1)处，有
且A＜0，因此点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在边界x+y=6上，y=6一x． 代入f(x，y)中得，z=2x
3
一12x
2
(0≤x≤6)． 由z'=6x
2
一24x=0得x=0，x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：
得线段x=0(0≤y≤6)及点(4，0)，(2，1)．而点(4，0)及线段x=0(0≤y≤6)在D的边界上，只有点(2，1)在D内部，可能是极值点．又 f"
xx
=8y一6xy一2y
2
，f"
xy
=8x一3x
2
—4xy，f"
yy
=一2x
2
在点(2，1)处，有
且A＜0，因此点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，极大值f(2，1)=4． 在D的边界x=0(0≤y≤6)及y=0(0≤x≤6)上，f(x，y)=0．在边界x+y=6上，y=6一x． 代入f(x，y)中得，z=2x
3
一12x
2
(0≤x≤6)． 由z'=6x
2
一24x=0得x=0，x=4．在边界x+y=6上对应x=0，4，6处z的值分别为：
【答案解析】