问答题
已知三元二次型xTAx经正交变换化为
，又知A*α=α，其中
，又知A*α=α，其中
【正确答案】由
知，A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=-1且|A|=2，再
由A*α=α知，AA*α=Aα，即|A|α=Aα，也即Aα=2α，
说明α是属于特征值λ1=2的特征向量。
设λ1=λ3=-1对应的特征向量为：
，则αTx=0，
即x1+x2-x3=0，解得
。
由A(α，α2，α3)=(Aα，Aα2，Aα3)=(2α，-α2，-α3)，
知A=(2α，-α2，-α3)(α，α2，α3)-1
再求所用正交变换矩阵Q。
先将α2，α3正交化，得β2=α2=
，β3
。
再将α，β2，β3单位化，得
。
则令Q=
知，A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=-1且|A|=2，再由A*α=α知，AA*α=Aα，即|A|α=Aα，也即Aα=2α，
说明α是属于特征值λ1=2的特征向量。
设λ1=λ3=-1对应的特征向量为：
，则αTx=0，即x1+x2-x3=0，解得
。由A(α，α2，α3)=(Aα，Aα2，Aα3)=(2α，-α2，-α3)，
知A=(2α，-α2，-α3)(α，α2，α3)-1
再求所用正交变换矩阵Q。
先将α2，α3正交化，得β2=α2=
，β3。再将α，β2，β3单位化，得
。则令Q=
【答案解析】[考点] 二次型