解答题
29.[2002年] 已知A，B为三阶矩阵，且满足2A-1B=B一4E，其中E是三阶单位矩阵．
(1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=
(1)证明矩阵A一2E可逆；(2)若B=
【正确答案】将所给等式变形整理为(A一2E)C=E的形式可证A一2E可逆，也可利用命题2．2．1．6证之．进而求解矩阵方程．
解一 (1)在所给矩阵等式两边左乘A，利用AA-1=E，有
2B=AB一4A， (A一2E)B一4A=0．
在以上矩阵等式两端同加8E，得到
(A一2E)B－4(A一2E)=8E， 即 (A一2E)[(B一4E)／8]=E．
故A一2E可逆，且A一2E=[(B一4E)／8]-1，即A=[(B一4E)／8]-1+2E．
(2)利用命题2．2．1．5(1)易求得
(B一4E)-1=
则 A=2E+8(B一4E)-1=
解一 (1)在所给矩阵等式两边左乘A，利用AA-1=E，有
2B=AB一4A， (A一2E)B一4A=0．
在以上矩阵等式两端同加8E，得到
(A一2E)B－4(A一2E)=8E， 即 (A一2E)[(B一4E)／8]=E．
故A一2E可逆，且A一2E=[(B一4E)／8]-1，即A=[(B一4E)／8]-1+2E．
(2)利用命题2．2．1．5(1)易求得
(B一4E)-1=
则 A=2E+8(B一4E)-1=
【答案解析】