已知函数
．
（1）求曲线
在点
处的切线方程；
（2）设
，讨论函数
在
上的单调性；
（3）证明：对任意的
，有
【正确答案】
（1）解：因为
，所以
，
即切点坐标为
，
又
，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为
，
所以
，
令
，
则
，
∴
在
上单调递增，
∴
∴
在
上恒成立，
∴
在
上单调递增.
（3）解：原不等式等价于
，
令
，
，
即证
，
∵
，
，
由（2）知
在
上单调递增，
∴
，
∴
∴
在
上单调递增，又因为
，
∴
【答案解析】
（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令
，
，即证
，由第二问结论可知