解答题
4.设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足
∫axf(t)dt≥∫axg(t)dt，x∈[a，b)，∫abf(t)dt=∫abg(t)dt。
证明∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
【正确答案】令F(x)=f(x)一g(x)，G(x)=∫axF(t)dt，由题设G(x)≥0，x∈[a，b]，且
G(a)=G(b)=0，G'(x)=F(x)。
从而
∫abxF(x)dx=∫abxdG(x)=xG(x)｜ab一∫abG(x)dx=一∫abG(x)dx。
由于G(x)≥0，x∈[a，b]，故有－∫abG(x)dx≤0，即∫abxF(x)dx≤0。因此可得
∫abxf(x)dx≤∫abxg(x)dx。
【答案解析】