问答题
设(S,*)和(T,*)分别是群(G,*)的s阶和t阶子群,并且S∩T和S∪T的阶分别为u和v,证明:st>uv,.
【正确答案】显然有u≤s,t≤v,且
v=|S∪T|=|S|+|T|-|S∩T|=s+t-u,即 u+v=s+t.
两边取二次方,得
u2+2uv+v2=s2+2st+t2,v-t=s-u>0 或 v-s=t-u>0.
又有 2st=2uv+u2+v2-s2-t2=2uv+(u+s)(u-s)+(v+t)(v-t),
=2uv+(v-t)(v+t-u-s)≥2uv,
即 st≥uv.
取等号当且仅当s=t,所以st>uv.
【答案解析】