单选题下列结论正确的是 ( )

A、 z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )处连续
B、 z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )处两个偏导数存在
C、 z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )处连续
D、 x=f(z，y)在点(x ₀ ，y ₀ )某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x ₀ ，y ₀ )某邻域内两个偏导数有界

【正确答案】 C

【答案解析】解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x ₀ ，y ₀ )某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有 f _x '｜(x，y)｜≤M，｜f _y '(x，y)｜≤M(M为正常数)．由微分中值定理有｜f(x，y)－f(x ₀ ，y ₀ )｜≤｜f(x，y)－f(x，y ₀ )｜+｜f(x，y ₀ )－f(x ₀ ，y ₀ )｜ =｜f _y '(x，y ₀ +θ ₁ △y).△y｜+｜f _x '(x ₀ +θ ₂ △x，y ₀ ).△x｜ ≤M(｜△x｜+｜△y｜)，其中△x=x－x ₀ ，△y=y－y ₀ ，θ＜θ ₁ ，θ ₂ ＜1．所以当