解答题
4.求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使得它与该抛物面及圆柱面(x一1)2+y2=1所围成的体积最小，试写出切平面方程，并求出最小体积．
【正确答案】设M0(x0，y0，z0)是抛物面上的任意一点，则该点处的切平面方程为
即2x0(x一x0)+2y0(y一y0)一z一(1+x02+y02)]=0．
于是，
z=2x0x+2y0y+1一x02一y02．
由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x，y)｜(x一1)2+y2≤1}，则所围成的体积为
由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积V确有最小值．故当x0=1，y0=0时，体积V达到最小
即2x0(x一x0)+2y0(y一y0)一z一(1+x02+y02)]=0．
于是，
z=2x0x+2y0y+1一x02一y02．
由于该立体在xOy坐标平面上的投影区域为D={(x，y)｜(x一1)2+y2≤1}，则所围成的体积为
由于驻点的唯一性，根据问题的实际意义，体积V确有最小值．故当x0=1，y0=0时，体积V达到最小
【答案解析】本题主要考查抛物面上的任意一点的切平面方程，切平面与抛物面及圆柱面所围成的体积．
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在．
得到体积公式中的被积函数的表达式是本题的关键所在．