解答题
23.设二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2)2+(x1-x3)2+(x3-x2)2，
(Ⅰ)求二次型f的秩；
(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
(Ⅰ)求二次型f的秩；
(Ⅱ)求正交变换Q，使二次型f化为标准形．
【正确答案】(Ⅰ)由于
，二次型对应的矩阵为A，则有
所以矩阵A的秩为2．
(Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则
可知λ1=0，λ2=λ3 =3
又当λ1=0时，特征向量η1=(1，1，1)T，将η1单位化后得
当λ2=λ3=3时，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得
再将β2，β3单位化，得
故正交变换矩阵
，且有x=Qy，使
，二次型对应的矩阵为A，则有所以矩阵A的秩为2．
(Ⅱ)记二次型f的矩阵为A，则
可知λ1=0，λ2=λ3 =3
又当λ1=0时，特征向量η1=(1，1，1)T，将η1单位化后得
当λ2=λ3=3时，特征向量η2=(-1，1，0)T，η3=(-1，0，1)T，对η2，η3施行施密特正交化得
再将β2，β3单位化，得
故正交变换矩阵
，且有x=Qy，使【答案解析】先写出二次型的矩阵，进而求矩阵的秩、特征值和单位正交的特征向量．
错例分析:本题有以下错误解法：
错误原因：变量替换
错例分析:本题有以下错误解法：
错误原因：变量替换