解答题
25.设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B—E)x=0没有非零解．
【正确答案】由aij=Aαij(i，j=1，2，3)可知，AT=A*．于是
又因为A≠O，不妨假设a11≠0，所以
|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故|A|=1．
又由已知，A～B，所以A与B有相同的特征值，且|B|=|A|=1．
由|E+2B|=|E+3B|=0，可得B有特征值
设B的另一特征值为λ3，则有
所以A、B的特征值为
λ3=6．于是矩阵A*+E=AT+E=A+E的特征值为
λ3+1=7全不为0，故A*+E可逆．
显然B一E的特征值为
又因为A≠O，不妨假设a11≠0，所以
|A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故|A|=1．
又由已知，A～B，所以A与B有相同的特征值，且|B|=|A|=1．
由|E+2B|=|E+3B|=0，可得B有特征值
设B的另一特征值为λ3，则有
所以A、B的特征值为λ3=6．于是矩阵A*+E=AT+E=A+E的特征值为λ3+1=7全不为0，故A*+E可逆．显然B一E的特征值为
【答案解析】