问答题
设函数f(x)在(-∞，+∞)三阶可导，且存在正数M，使得|f(x)|≤M，|f""(x)|≤M对
【正确答案】
【答案解析】[分析与证明] 将f(x+1)与f(x-1)分别在点x展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式得
为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得
于是
即f"(x)在(-∞，+∞)有界．
为估计|f"(x)|的大小，由①+②就有
f(x+1)+f(x-1)=2f(x)+f"(x)+
[f""(ξ
1
)-f""(ξ
2
)]，
于是f"(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)-
[f""(ξ
1
)-f""(ξ
2
)]，
|f"(x)|≤|f(x+1)|+|f(x-1)|+2|f(x)|+
[|f""(ξ
1
)|+|f""(ξ
2
)|]
≤4M+
为估计|f"(x)|的大小，将上面两式相减并除以2即得
于是
即f"(x)在(-∞，+∞)有界．
为估计|f"(x)|的大小，由①+②就有
f(x+1)+f(x-1)=2f(x)+f"(x)+
[f""(ξ
1
)-f""(ξ
2
)]，
于是f"(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)-
[f""(ξ
1
)-f""(ξ
2
)]，
|f"(x)|≤|f(x+1)|+|f(x-1)|+2|f(x)|+
[|f""(ξ
1
)|+|f""(ξ
2
)|]
≤4M+