解答题
20.已知
a1=[1，3，5，一1]T， a2=[2，7，a，4]T， a3=[5，17，一1，7]T．
(Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与a1，a2，a3都正交的非零向量a4；
(Ⅲ)当a=3时，证明a1，a2，a3，a4可表示任一个四维列向量．
a1=[1，3，5，一1]T， a2=[2，7，a，4]T， a3=[5，17，一1，7]T．
(Ⅰ)若a1，a2，a3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与a1，a2，a3都正交的非零向量a4；
(Ⅲ)当a=3时，证明a1，a2，a3，a4可表示任一个四维列向量．
【正确答案】(Ⅰ)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之；
(Ⅱ)按齐次线性方程组求解的方法求之．
(Ⅲ)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解．
解 (Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于
所以a=一3．
(Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有
<α1，α4>=0， <α2，α4>=0， <α3，α4>=0，
即
而
所以
X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，一6，0，1]，
其中k≠0为任意常数．
(Ⅲ)由于
(Ⅱ)按齐次线性方程组求解的方法求之．
(Ⅲ)归结证明对任意四维向量α，方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解．
解 (Ⅰ)由α1，α2，α3线性相关，得秩(α1，α2，α3)＜3．由于
所以a=一3．
(Ⅱ)设α4=[x1，x2，x3，x4]T，则有
<α1，α4>=0， <α2，α4>=0， <α3，α4>=0，
即
而
所以
X=[x1，x2，x3，x4]T=α4=k[19，一6，0，1]，
其中k≠0为任意常数．
(Ⅲ)由于
【答案解析】