解答题
6.(13年)设奇函数f(x)在[-1，1]上具有2阶导数，且f(1)=1．证明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f／"(η)+f'(η)=1．
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f'(ξ)=1；
(Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f／"(η)+f'(η)=1．
【正确答案】(I)因为f(x)是区间[一1，1]上的奇函数，所以f(0)=0．
因为函数f(x)在区间[0，1]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得
f(1)一f(0)=f’(ξ)
又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1．
(Ⅱ)因为f(x)是奇函数，所以f’(x)是偶函数，故f’(一ξ)=f’(ξ)=1．
令F(x)=[f'(x)一1]ex，则F(x)可导，且F(一ξ)=F(ξ)=0．
根据罗尔定理，存在η∈(一ξ，ξ)
因为函数f(x)在区间[0，1]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，1)，使得
f(1)一f(0)=f’(ξ)
又因为f(1)=1，所以f'(ξ)=1．
(Ⅱ)因为f(x)是奇函数，所以f’(x)是偶函数，故f’(一ξ)=f’(ξ)=1．
令F(x)=[f'(x)一1]ex，则F(x)可导，且F(一ξ)=F(ξ)=0．
根据罗尔定理，存在η∈(一ξ，ξ)
【答案解析】