问答题
证明：如果预算线给定，一条无差异曲线U(Qx，Qy)与其相切，试证明切点E的坐标为最优商品组合，切点E为消费者均衡点。
【正确答案】
【答案解析】[证明]
(1)如图2，不妨设预算线AB斜率为-1，切点E对应Qx、Qy。由于E点为U(Qx，Qy)与AB的切点，所以在E点MRSXY＝Px/PY，而在E点左上方MRSXY＞PX/PY，E点右下方MRSXY＜PX/PY。其中，PX/PY＝1。
(2)在E点左上方，如a点，a点与U(Qx，Qy)没有交、切点，只与U'(Qx，QY)有交点a。由图可知，在口点MRSXY＞PX/PY，不妨设MRSXY＝1/0.5＞PX/PY＝1/1。则从不等式右边看，消费者减少1单位Y可获得1单位X；从不等式左边看，消费者减少消费1单位Y只需多消费0.5单位X即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位Y多消费1单位X，就可用X弥补少消费Y的损失后还额外多获得0.5单位X的效用，因而使总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购些X少购些Y，可见a点不是最优组合。
(3)在E点右下方(如b点)，b点与U(Qx，Qy)没有交、切点，只与U'(Qx，Qy)有交点b，在b点MRSXY＜Px/PY，不妨设MRSXY＝.5/1＜Px/PY＝1/1。此时，从不等式右边看，消费者减少1单位X可获得1单位Y；从不等式左边看，消费者减少消费1单位X只需多消费0.5单位Y即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位X多消费1单位Y，就可用Y弥补少消费X的损失后还额外多获得0.5单位Y的效用，因而使总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购些Y少购些X，可见6点也不是最优组合。
(4)可见E点左上、右下方都没有最优商品组合点，所以，E本身就是最优商品组合点。
(5)由于E点是消费者效用最大点，且在预算线上，所以E点即为消费者均衡点。
(1)如图2，不妨设预算线AB斜率为-1，切点E对应Qx、Qy。由于E点为U(Qx，Qy)与AB的切点，所以在E点MRSXY＝Px/PY，而在E点左上方MRSXY＞PX/PY，E点右下方MRSXY＜PX/PY。其中，PX/PY＝1。
(2)在E点左上方，如a点，a点与U(Qx，Qy)没有交、切点，只与U'(Qx，QY)有交点a。由图可知，在口点MRSXY＞PX/PY，不妨设MRSXY＝1/0.5＞PX/PY＝1/1。则从不等式右边看，消费者减少1单位Y可获得1单位X；从不等式左边看，消费者减少消费1单位Y只需多消费0.5单位X即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位Y多消费1单位X，就可用X弥补少消费Y的损失后还额外多获得0.5单位X的效用，因而使总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购些X少购些Y，可见a点不是最优组合。
(3)在E点右下方(如b点)，b点与U(Qx，Qy)没有交、切点，只与U'(Qx，Qy)有交点b，在b点MRSXY＜Px/PY，不妨设MRSXY＝.5/1＜Px/PY＝1/1。此时，从不等式右边看，消费者减少1单位X可获得1单位Y；从不等式左边看，消费者减少消费1单位X只需多消费0.5单位Y即可保持原有的满足程度。这样，消费者如果少消费1单位X多消费1单位Y，就可用Y弥补少消费X的损失后还额外多获得0.5单位Y的效用，因而使总效用增加。这时，理性的消费者一定会再多购些Y少购些X，可见6点也不是最优组合。
(4)可见E点左上、右下方都没有最优商品组合点，所以，E本身就是最优商品组合点。
(5)由于E点是消费者效用最大点，且在预算线上，所以E点即为消费者均衡点。