(1)数学的严谨性是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。

这一原则说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的不断提高，来逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐提高学生的接受能力。

显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的发展水平。这种心理发展的渐变性决定了学生在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，因此教师在不同的教学阶段，应该依据不同的教学目的和教学内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相对的。

(2)在证明“是无理数”的教学过程中，对严谨性的要求，应设法安排使学生拥有逐步适应的过程和机会，逐步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥直观和猜想，强调思维的严谨性，但允许猜想，辩证的处理好推理的有据和猜想的关系。

由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中，我们采用反证法，先假设是有理数，“如果x是有理数，那么x可以写成最简分数(p，q是整数，p与q互质)的形式，于是