解答题
f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得
【正确答案】
【答案解析】[证] 因为f'(x)在[0，1]上连续，所以f'(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即有x1，x2∈[0，1]，使f'(x1)=m，f'(x2)=M．
由中值定理知，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f'(η)x，于是有
f'(x1)x=mx≤f(x)=f(x)-f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x2)x，
积分得
因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理知，必有
或
使
由中值定理知，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f'(η)x，于是有
f'(x1)x=mx≤f(x)=f(x)-f(0)=f'(η)x≤Mx=f'(x2)x，
积分得
因为f'(x)在[0，1]上连续，由介值定理知，必有
或使