问答题
设有一容器由平面z=0，z=1及介于它们之间的曲面S所围成．过x轴上
点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=
点(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z轴的平面与该立体相截得水平截面D(z)，它是半径r(z)=
问答题
写出注水过程中t时刻水面高度z=z(t)与相应的水体积V=V(t)之间的关系式，并证明水面高度z与时间t的函数关系：
【正确答案】正确答案：由截面已知的立体体积公式可得t时刻容器中水面高度z(t)与体积V(t)之间的关系是 V(t)=∫
0
z(t)
S(t)dz， 其中S(z)是水面D(z)的面积，即 S(z)=π[z
2
+(1—z)
2
]． 现由
=υ
0
及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=υ
0
dt，即[z
2
+(1—z)
2
]dz=
． 两边积分并注意z(0)=0，得
=υ
0
及z(0)=0，求z(t)． 将上式两边对t求导，由复合函数求导法得
这是可分离变量的一阶微分方程，分离变量得 S(z)dz=υ
0
dt，即[z
2
+(1—z)
2
]dz=
． 两边积分并注意z(0)=0，得
【答案解析】
问答题
求水表面上升速度最大时的水面高度．
【正确答案】正确答案：求z取何值时
取最大值．已求得(*)式即
(若未解答题(Ⅰ)，可对题(Ⅰ)告知要证的结论即(**)式两边对t求导得
，同样求得上式) 因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(z)=z
2
+(1—z)
2
在[0，1]上的最小值点．由
f(z)在
在[0，1]上取最小值．故z=
取最大值．已求得(*)式即
(若未解答题(Ⅰ)，可对题(Ⅰ)告知要证的结论即(**)式两边对t求导得
，同样求得上式) 因此，求
取最大值时z的取值归结为求f(z)=z
2
+(1—z)
2
在[0，1]上的最小值点．由
f(z)在
在[0，1]上取最小值．故z=
【答案解析】
问答题
求灌满容器所需时间．
【正确答案】正确答案：归结求容器的体积，即 V=∫
0
1
S(t)dz=π∫
0
1
[z
2
+(1—z)
2
]dz=
， 因此灌满容器所需时间为
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得
， 因此灌满容器所需时间为
或由于灌满容器所需时间也就是z=1时所对应的时间t，于是在(**)中令z=1得
【答案解析】