问答题
已知f
n
(x)满足f
n
'(x)=f
n
(x)+x
n－1
e
x
(n为正整数)，且
求函数项级数
求函数项级数
【正确答案】正确答案：由题设条件知，函数f
n
(x)满足一阶线性非齐次微分方程 f
n
'(x)－f
n
(x)=x
n－1
e
x
， 其通解为
由条件
记
容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得
于是得S(x)=S(0)+∫
0
x
S'(t)dt=
=－ln(1－x) 由S(x)=－1n(1－x)在x=－1处的连续性知，上述和函数在x=－1处也成立．于是，当－1≤x＜1时，有
由条件
记
容易求出其收敛域为[－1，1)，且S(0)=0，当x∈(－1，1)时，求导得
于是得S(x)=S(0)+∫
0
x
S'(t)dt=
=－ln(1－x) 由S(x)=－1n(1－x)在x=－1处的连续性知，上述和函数在x=－1处也成立．于是，当－1≤x＜1时，有
【答案解析】