【正确答案】正确答案：设 F(x)=∫ ₀ ^x g(t)f'(t)dt+∫ ₀ ¹ f(t)g'(t)dt—f(x)g(1)， 则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且 F'(x)=g(x)f'(x)—f'(x)g(1)=f'(x)[g(x)—g(1)]， 由于x∈[0，1]，f'(x)≥0，g'(x)≥0，因此F'(x)≤0，即F(x)在[0，1]上单调递减。 注意到 F(1)=∫ ₀ ¹ g(t)f'(t)dt+∫ ₀ ¹ f(t)g'(t)dt—f(1)g(1)， 而 ∫ ₀ ¹ g(t)f'(t)dt=∫ ₀ ¹ g(t)df(t)=g(t)f(t)｜ ₀ ¹ 一∫ ₀ ¹ f(t)g'(t)dt =f(1)g(1)一∫ ₀ ¹ f(t)g'(t)dt， 故F(1)=0。 因此x∈[0，1]时，F(x)≥0，由此可得对任何a∈[0，1]，有 ∫ ₀ ^a g(x)f'(x)dx+∫ ₀ ¹ f(x)g'(x)dx≥f(a)g(1)。

【答案解析】解析：本题考查用分部积分法求抽象函数的积分以及单调性。