解答题
[2011年] 设向量组α1=[1，0，1]T，α2=[0，1，1]T，α3=[1，3，5]T不能由向量组β1=[1，1，1]T，β2=[1，2，3]T，β3=[3，4，a]T线性表示．
问答题
25.求a的值；
【正确答案】解一 因α1，α2，α3不能用β1，β2，β3线性表示，故秩([α1，α2，α3])＞秩([β1，β2，β3])，而|α1，α2，α3|=
=1≠0，故秩([α1，α2，α3])=3，秩([β1，β2，β3])＜3，所以
解二 4个三维向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)必线性相关．若β1，β2，β3线性无关，则αi必可表示成β1，β2，β3的线性组合．这与题设矛盾，故β1，β2，β3线性相关．于是|β1，β2，β3|=a－5=0，即a=5．
解三 将下列向量组用初等行变换化为行阶梯形矩阵：
易知秩([α1，α2，α3])=3．因α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表出，故秩([β1，β2，β3])＜3．因而
=1≠0，故秩([α1，α2，α3])=3，秩([β1，β2，β3])＜3，所以解二 4个三维向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)必线性相关．若β1，β2，β3线性无关，则αi必可表示成β1，β2，β3的线性组合．这与题设矛盾，故β1，β2，β3线性相关．于是|β1，β2，β3|=a－5=0，即a=5．
解三 将下列向量组用初等行变换化为行阶梯形矩阵：
易知秩([α1，α2，α3])=3．因α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表出，故秩([β1，β2，β3])＜3．因而
【答案解析】
问答题
26.将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．
【正确答案】解一 由上题的解三知，当a=5时，经初等行变换得到
故 β1=2α1+4α2－α3， β2=α1+2α2， β3=5α1+10α2－2α3．
解二 设[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]G．则
因而
故 β1=2α1+4α2－α3， β2=α1+2α2， β3=5α1+10α2－2α3．
解二 设[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]G．则
因而
【答案解析】