解答题
设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f'(0)=f'(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令
，则F(x)三阶连续可导且F'(x)=f(x)，由泰勒公式得
因为f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，
于是2m≤f"(ξ1)+f"(ξ2)≤2M或
由介值定理，存在
，使得
故有
，则F(x)三阶连续可导且F'(x)=f(x)，由泰勒公式得因为f"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，
于是2m≤f"(ξ1)+f"(ξ2)≤2M或
由介值定理，存在
，使得故有