【正确答案】 (I)证一 如图1．2．4．1所示，弦的方程为
y—f(a)=(x—a)，
即 y=f(a)+(x—a)．

由图1．2．4．1易看出直线AB与曲线f(x)相交于A，B两点，
因而在这两点处的函数值相等．据此可构造辅助函数
F(x)=f(x)－[f(a)+(x—a)]，
使F(x)在点A，B处的函数值相等，因而可对F(x)使用罗尔定理．这是因为F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0．由罗尔定理知，在(a，b)内存在ξ，使F′(ξ)=0，
即f′(ξ)=， 故 f(b)一f(a)=(b一a)f′(ξ)．
证二 设想曲线f(x)与直线AB除交于A，B两点外还交于原点(f(0)=0)，则可构造辅助函数
F(x)=f(x)一， 则 F(a)=F(b)=
由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点ξ，使F′(ξ)=0，即
f′(ξ)=， 亦即 f(b)一f(b)=f′(ξ)(b一a)．
(Ⅱ)证一 任取x∈(0，δ)，在[0，x]上由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0，x)，使
f′(ξ)=
当x→0⁺时，ξ→0⁺．由右导数定义有
f′_-(0)==A．
证二 由右导数定义得到
f′₊(0)=