单选题
设A是4阶方阵，则下列线性方程组是同解方程组的是______
【正确答案】
D
【答案解析】[解析] 显然，由A
i
X=0，两边左乘A，得A
i+1
X=0，i=1，2，3，4．
反之，若A i+1 X=0，是否有A i X=0．
对选项A，取
，A
2
=0，取X=[0，0，0，1]
T
，则A
2
X=0X=0，但
，故选项A不是同解方程组．
对选项B，取
，A
3
=0，取X=[0，0，0，1]
T
，则A
3
X=0，但
，故选项B不是同解方程组．
对选项C，取
，A
4
=0，取X=[0，0，0，1]
T
，则A
4
X=0，但
，故选项C不是同解方程组．
由排除法知，应选择D．
对于选项D：易知
，要证
，用反证法，设A
5
X=0，而A
4
X≠0，因5个四维向量X，AX，A
2
X，A
3
X，A
4
X必线性相关，存在不全为零的数k
0
，k
1
，k
2
，k
3
，k
4
使得
k 0 X+k 1 AX+k 2 A 2 X+k 3 A 3 X+k 4 A 4 X=0． (*)
对式(*)两边左乘A 4 ，得
k 0 A 4 X+k 1 A 5 X+k 2 A 6 X+k 3 A 7 X+k 4 A 8 X=0
k
0
A
4
X=0，
又A 4 X≠0得k 0 =0，将k 0 =0代入式(*)，类似地再两边左乘A 3 ，可得k 1 =0，同理可得k 2 =k 3 =k 4 =0，这和X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X线性相关矛盾，故A 5 X=0
A
4
X=0．(一般地，当A为n阶方阵时，有A
n+1
X=0
反之，若A i+1 X=0，是否有A i X=0．
对选项A，取
，A
2
=0，取X=[0，0，0，1]
T
，则A
2
X=0X=0，但
，故选项A不是同解方程组．
对选项B，取
，A
3
=0，取X=[0，0，0，1]
T
，则A
3
X=0，但
，故选项B不是同解方程组．
对选项C，取
，A
4
=0，取X=[0，0，0，1]
T
，则A
4
X=0，但
，故选项C不是同解方程组．
由排除法知，应选择D．
对于选项D：易知
，要证
，用反证法，设A
5
X=0，而A
4
X≠0，因5个四维向量X，AX，A
2
X，A
3
X，A
4
X必线性相关，存在不全为零的数k
0
，k
1
，k
2
，k
3
，k
4
使得
k 0 X+k 1 AX+k 2 A 2 X+k 3 A 3 X+k 4 A 4 X=0． (*)
对式(*)两边左乘A 4 ，得
k 0 A 4 X+k 1 A 5 X+k 2 A 6 X+k 3 A 7 X+k 4 A 8 X=0
k
0
A
4
X=0，
又A 4 X≠0得k 0 =0，将k 0 =0代入式(*)，类似地再两边左乘A 3 ，可得k 1 =0，同理可得k 2 =k 3 =k 4 =0，这和X，AX，A 2 X，A 3 X，A 4 X线性相关矛盾，故A 5 X=0
A
4
X=0．(一般地，当A为n阶方阵时，有A
n+1
X=0