解答题
20.设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(-1，1)内至少存在一点ξ，使得f”'(ξ)=3．
【正确答案】将f(x)在x=0处展成泰勒公式，
，η在0与x之间．
当x=±1时，有
上面两式相减得 f”'(η1)+f”'(η2)=6．
由f”'(x)的连续性知，f”'(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，则
再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1]
(-1，1)，使
，η在0与x之间．当x=±1时，有
上面两式相减得 f”'(η1)+f”'(η2)=6．
由f”'(x)的连续性知，f”'(x)在[η2，η1]上有最大值M和值小值m，则
再由连续函数的介值定理知，至少存在ξ∈[η2，η1]
(-1，1)，使【答案解析】本题考查利用泰勒公式证明中值问题．由于f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，故考虑将函数f(x)在恰当点展开，根据已知条件，应将f(±1)在x=0处展开三阶泰勒公式，再利用介值定理证得结论．