设有二阶线性微分方程
(Ⅰ)作自变量替换
(Ⅰ)作自变量替换
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)先求
再将①求导，得
将①代入
将②，③代入原方程得
(Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ
2
+2λ+1=0，有重根λ=-1．非齐次方程可设特解y
*
=Asint+Boost，代入④得 -(Asint+Boost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost-Bsint=sint 比较系数得A=0，B=-1，即y
*
(t)=-cost．因此④的通解为 y=(c
1
+c
2
t)e
-t
-cost 原方程的通解为y=(c
1
+c
2
arcsinx)e
-arcsinx
-
，c
1
，c
2
为
常数． 其中t=arcsinx，cost=
再将①求导，得
将①代入
将②，③代入原方程得
(Ⅱ)题(Ⅰ)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ
2
+2λ+1=0，有重根λ=-1．非齐次方程可设特解y
*
=Asint+Boost，代入④得 -(Asint+Boost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost-Bsint=sint 比较系数得A=0，B=-1，即y
*
(t)=-cost．因此④的通解为 y=(c
1
+c
2
t)e
-t
-cost 原方程的通解为y=(c
1
+c
2
arcsinx)e
-arcsinx
-
，c
1
，c
2
为
常数． 其中t=arcsinx，cost=
【答案解析】